向量组的线性相关性
小明在打geekgame，小美在学no_F5动调,小陈在学Linear Algebra，他们都有光明的未来（
正经人谁打geekgame啊
geekgame一道题不会写，只好跑来写写线代的部分总结定理大全了
n维向量的概念及其线性运算
n维向量的定义（定义1）
\[ 由n个数a_1,a_2,...,a_n组成的有序数组\alpha=(a_1,a_2,...,a_n)称为一个n维向量，数a_i称为该向量的第i个分量(i=1,2,...,n) \]
一般指向实向量(分量为实数)
分量是向量在坐标轴上的投影
行向量（1 x n）只有1行，列向量（n x 1）只有1列
向量是一种特殊的矩阵
规定：所有分量都是零的n维向量称为n维零向量。记作0，即0=(0,0,...,0)
定义2 n维向量的加法
n维向量的加法
运算规则与矩阵相同
定义3 n维向量的数乘运算
n维向量的数乘运算
运算规则与矩阵相同
约定：对于任意实数k以及任意的n维向量α，都有kα=αk
向量的加法运算及数乘运算统称为向量的线性运算。
向量组的线性相关性
定义4 线性表出
设\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)是一组n维向量，\(k_1,k_2,...,k_m\)是一组实常数，
则称\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m\) 为 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\) 的一个线性组合；
常数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)为该线性组合的组合系数.
若一个n维向量\(\beta\)可以表示称\(\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m,\) 则称\(\beta\)是\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)的线性组合，或称\(\beta\)可用\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)线性表出（线性表示) 仍称\(k_1,k_2,...,k_m\)为组合系数，或表出系数
若干个同维度的向量所组成的集合叫做向量组，m个向量α₁,α₂,....,αₘ 组成的向量组可以记为 \[ R:\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m 或R=\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\} \]
\[ 例如矩阵A=(a_{ij})_{m*n}可以看称由n个m维列向量\\ \alpha_j= \left( \matrix {a_{1j}\\a_{2j}\\...\\a_{mj} } \right) \\ 组成的向量组.称\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m是矩阵A的列向量组 \]
\(\alpha\)是n维向量，有n个分量；\(R\)是由m个n维向量组成的集合。
一个n*m的矩阵A，可以由m个n维行向量组成，也可以由n个m维列向量组成
对于线性方程组Ax=B，视为A为列向量组成的向量组，那么方程组可以写为\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n=b\)
因而讨论方程组Ax=B是否有解的问题就是讨论b是否能由A的列向量线性表出。
n维单位坐标向量：
\(\epsilon_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)\space \space(i=1,2,\dots,n)\)
\(\epsilon_i\)中第i个分量为1，其余分量都是0.显然，任意一个n维向量\(\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\)都可以唯一地表示为这n个标准单位向量的线性组合
\(\alpha=a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+\dots+a_n\epsilon_n\)
定义5 线性相关/无关
设有n维向量\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)，若存在m个不全为零的实数\(k_1,k_2,\dots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_m\alpha_m=0\)，则称\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)线性相关，称\(k_1,k_2,\dots,k_m\)为相关系数，否则称\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)线性无关
换言之，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)线性无关当且仅当\(k_1=k_2=\dots=k_m=0\)时，上式成立。
定理1
n维向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\) （ \(m\geqslant2\)）线性相关\(\Leftrightarrow\)至少存在某个 \(\alpha_i\) 是其余向量的线性组合
n维向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)（ \(m\geqslant2\)）线性无关\(\Leftrightarrow\)任意一个 \(\alpha_i\) 都不能由其余向量线性表出
由定义5易知：
(1)任意一个含有零向量的向量组必为线性相关组
(2)单个向量\(\alpha\)线性相关\(\Leftrightarrow\)\(\alpha=0\)，即单个向量\(\alpha\)线性无关\(\Leftrightarrow\alpha\neq0\)
(3)两个非零的n维向量\(\alpha，\beta\)线性相关当且仅当存在不全为零的数k,l使得\(k\alpha+l\beta=0\)，即\(\alpha=-\frac{l}{k}\beta\)或\(\beta=-\frac{k}{l}\)
这说明\(\alpha\)和\(\beta\)共线，即它们的对应分量成比例
判断线性相关的基本方法和步骤
n维向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)
1.假定存在一组数\(k_1,k_2,\dots,k_m\)使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_m\alpha_m=0\)
2.列出未知量\(k_1,k_2,\dots,k_m\)的齐次线性方程组
3.判断方程组有无非零解
4.若有非零解，则线性相关；若仅有零解，则线性无关
线性相关——向量组中存在可替代性——存在冗余信息
定理2
如果向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)线性无关，而向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,\beta\)线性相关，则\(\beta\)可以用\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)唯一线性表出
线性相关性的判别定理
对于一个有m个向量的n维向量组，线性相关性判定来说 \[ \begin{split} R：\alpha_j=\left(\matrix{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}}\right)^T\\ 若该向量组线性&相关，则有\\ k_1a_{1}+k_2a_2+\dots+k_na_n=&0\space该方程存在非零解 \end{split} \] n维相当于有n个方程，即约束个数
m个向量相当于有m个未知数，即未知数个数
当向量个数大于向量维数时，方程组存在自由未知量，则必有非零解
k₁,k₂，...,k ₙ为未知数
定理3
\[ 若\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性相关，则\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\alpha_{r+1},\cdots,\alpha_m也线性相关 \]
相关组的扩充向量组必为相关组 or 部分相关，整体相关
⇔
无关组的子向量组必为无关组 or 整体无关，部分必无关
向量组扩充\(\rightarrow\)增加向量个数\(\rightarrow\)增加未知数个数
推论
若向量中含有零向量，则此向量组线性相关
由此可知，线性无关向量组中一定不含有零向量
定理4
设有两个向量组 \[ \begin{split} R：\alpha_j&=\left(\matrix{a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj}}\right)^T \space\ (j=1,2,3,\dots,m)\\ S：\beta_j&=\left(\matrix{a_{p_1j},a_{p_2j},\cdots,a_{p_nj}}\right)^T \space\ (j=1,2,3,\dots,m)\\ 其中p_1p_2\dots,p_n是自然数1,2&,\dots,n的某个确定的排列，则向量组R与向量组S的线性相关性相同 \end{split} \] 即向量组内向量相同，排放位置不同，线性相关性相同
定理5
设有两个向量组，它们的前r个向量对应相同 \[ \begin{split} S：\beta_j=\left(\matrix{a_{1j},a_{2j},&\cdots,a_{rj},a_{r+1,j}}\right)^T \space\ (j=1,2,3,\dots,m)\\ 如果\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m为线性相关组，则\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m必为线性相关&组 \end{split} \] 方程理解：前r个方程有非零解，则再添加方程个数，方程依旧有解 \[ \begin{split} 把向量组\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m称为向量&组\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m的^”接长^“向量组\\ 而把向量组\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m称为向&量组\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m的^”截短^“向量组\\ \end{split} \]
短的无关，长的无关
较少约束时无解，增加约束也无解
长的有关，短的有关
较多约束时有解，减少约束也有解
长短指的是向量维数，即线性方程组的方程个数
推论
r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组.若r维向量组线性无关，则n维向量组也线性无关，即短的无关，长的无关
n-r次应用定理5，每次添上一个向量即可得到结论
定理6
向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)线性相关的充要条件是它所构成的矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)\)的秩小于向量个数m；该向量组线性无关的充分必要条件是r(A)=m
推论1
n个n维向量线性无关的充分必要条件是它们构成的方阵的行列式不为0
推论2
当m>n时，m个n维向量\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\)一定线性相关
向量个数（未知量个数）>向量维数（方程个数），则必有自由未知量的产生
向量组的秩
定义6 向量组等价
设有两个n维向量组\(R:\{\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\}\)，\(S：\{\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}\}\)
若向量组R中的每一个向量\(\alpha_i\)都可以由向量组S中的向量\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}\)线性表出，则称向量组R可以由向量组S线性表出，若向量组S也可以由向量组R线性表出，那则称这两个向量组等价
可以将向量组R由向量组S线性表出记为：R=SK，K为系数矩阵，K为r*s的矩阵
向量组之间的线性表出关系具有传递性
向量组之间的等价关系具有：反身性，对称性，传递性
定义7 向量组的秩
若T是由若干个（有限个或无限多个）向量组成的向量组。若存在T的一个部分组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r\)满足以下条件：
(1)\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r\)线性无关
(2)对于任意一个向量\(\beta\in T\)，向量组\(\beta,\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r\)都线性相关
则称\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r\)为T的一个极大线性无关组向量组，简称为极大无关组.极大线性无关组所含向量的个数r称为向量组T的秩
只含零向量的向量组没有极大线性无关组，规定它的秩为0
定理7
向量组T与它的一个极大线性无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价
Rn的任意n个线性无关向量都构成Rn中的极大无关组
定理8
设向量组R的秩为r，向量组S的秩为s，若向量组R可由向量组S线性表出，则必有\(r\leqslant s\)
推论1
等价的向量组必有相同的秩
推论2
任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等
等价的向量组一定由相同的秩，但秩相等的两个向量组未必等价
向量组的秩
设A是一个\(m\times n\)矩阵
\(A=\space\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\dots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\dots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} &\dots &a_{mn}\end{matrix} \right)\space\)
将矩阵A分别按行分块和按列分块
\(A=\space\left( \begin{matrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_m \end{matrix} \right)，其中\alpha_i= \left( \begin{matrix} a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in} \end{matrix} \right) (i=1,2,\dots,m)\)
\(A=\left( \begin{matrix} \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n \end{matrix} \right) 其中，\beta_j= \left( \begin{matrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{mj} \end{matrix} \right) (j=1,2,\dots,n)\)
于是矩阵A对应两个向量组（分别为n维行向量组和m维列向量组），\(M=\left( \begin{matrix} \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \end{matrix} \right),N=\left( \begin{matrix} \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n \end{matrix} \right)\)
称M为A的行向量组，N为A的列向量组
定义8
矩阵A的行向量组M的秩称为A的行秩；列向量组N的秩称为A的列秩
定理9
矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩
一般地，将一个向量组\(\begin{matrix}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\end{matrix}\)的秩记作秩\(\left(\begin{matrix}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\end{matrix}\right)\)
定理10
矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A的列向量组的任一部分组与B的列向量组的对应部分组有相同的线性组合关系
求向量组的秩
(1)把向量组排成矩阵
(2)把矩阵化成行阶梯形矩阵
(3)把矩阵化为行最简形矩阵（用极大无关组向量表示其他向量）
由定理10可知，初等行变化后对应部分组具有相同的线性组合关系，便能得到线性表示关系
向量空间
定义9
设V是n维向量构成的非空集合，且满足
(1)若\(\alpha,\beta\in V,\) 则 \(\alpha+\beta \in V\)（V对向量的加法封闭）
(2)若\(\forall \alpha \in V\)，及 \(\forall k \in R\)，都有\(k\alpha \in V\)（V对向量的数乘运算封闭）
则称集合V是向量空间
上述两个条件可以合并为 \(\forall\alpha,\beta\in V,\forall k,l \in R,都有k\alpha+l\beta\in V\)
全体n为行（列）向量的集合也构成向量空间，记为Rn
定义10
设V1和V2都是向量空间，且\(V_1\subseteq V_2\)，则称\(V_1\)是\(V_2\)的子空间
特别地，V={0}是向量空间，称为零空间
在任意一个向量空间V中一定包含零向量
由V不是空集得到\(\forall \alpha \in V,满足-\alpha=(-1)\alpha\in V\) 于是由封闭性知\(\alpha+(-1)\alpha=0\in V\)
我们可以把零向量称为向量空间的“原点”
生成空间
设\(\alpha,\beta\) 是两个已知的n维向量，集合\(V=\{x=\lambda \alpha+\mu\beta|\lambda,\mu \in R\}\)是一个向量空间
这个向量空间称为由向量\(\alpha,\beta\)生成的向量空间
一般地，任意取定向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\in R^n\)，则可证明由它们的线性组合全体所组成的向量集合
\(V=\{\alpha=k_1\alpha_1,k_2\alpha_2,\cdots,k_m\alpha_m|\forall k_i\in R,j=1,2,\cdots,m\}\)
是\(R^n\)的一个向量空间，记为\(V=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)，并称它为由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)生成的向量空间
定义11 基，基向量，维数
设V是\(R^n\)的一个子空间。若V中的向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)满足：
(1)\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)线性无关
(2)V中的任意一个向量\(\alpha\)都可以由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)线性表出：
即存在常数\(k_1,k_2,\cdots,k_r\in R\)使得\(\alpha=k_1\alpha_1,k_2\alpha_2,\cdots,k_r\alpha_r\)，则称向量组)\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)为向量空间V的一个基，
其中每个\(\alpha_i(i=1,2,\cdots,r)\)都称为基向量.基中所含向量的个数r称为V的维数，记为\(dimV=r\)，并称V为r维向量空间
零空间的维数为0
向量空间V的一个基实际上就是向量集合V中的一个极大线性无关组，V的维数就是极大无关组中所含向量的个数，也即V的秩
\(R^n\) 中任意n个线性无关的向量都是\(R^n\)的一个基
R3中过原点的直线是一维子空间，过原点的屏平面是二维子空间
由向量组生成的线性子空间的维数即为该向量组的秩，其基为该向量组的一个极大线性无关组
定义12
设\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是n维向量空间的一个基，向量空间V中的任意一个向量\(\alpha\) 都可唯一地表示为
\(\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_r\)，
\(\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)\)的系数构成的有序数组\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 称为向量\(\alpha\) 在基\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)下的坐标
同一个向量在不同的下有不同的坐标向量。求坐标向量的方法就是求表出系数，也就是解线性方程组