数分复习

Posted on 2023-02-13 Edited on 2024-01-26 In Review Views: Word count in article: 3.6k Reading time ≈ 13 mins.

临考前发的post，已经山穷水尽咧！

希望考试能有个好结果 # 求极限

思路

先化简

四则运算：能不能拆，能不能先算

加减法时：

$e^{f(x)}-e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot(e^{f(x-g(x)}-1)\sim e^{g(x)}\cdot [f(x)-g(x)]$
$f^\alpha(x)-g^\alpha(x)=g^\alpha(x)\cdot[(\frac{f(x)}{g(x)})^\alpha-1]=g^\alpha(x)\cdot[(1+(\frac{f(x)}{g(x)}-1))^\alpha-1]$
$\ln A-B=\ln A -\ln e^B=\ln \frac{A}{e^B}$
$,f(x),g(x) $令t=1/x，通分
泰勒公式

恒等变形

幂指函数$u^{v(x)}(x)$不能等价，只能变形

1^[]：公式:$\lim f(x)^{g(x)}\to e^{\lim [f(x)-1]\cdot g(x)}$
其他：$e^{u(x)\ln v(x)}$得到新极限再化简

等价无穷小(加减法别用)

常用的： \[ \begin{split} \sin x\sim \tan x &\sim \arctan x\sim\arcsin x\sim x\\ \ln (x+1)&\sim x\\ e^x-1 &\sim x\\ \cos x &\sim 1-\frac{1}{2}x^2\\ \sqrt[n]{1+x}-1 &\sim \frac{1}{n}x \end{split} \] 不算常用： \[ \begin{split} ln(1+\sqrt{x})&\sim x^{\frac{1}{2}}\\ e^{x^{2}}-1&\sim x^{2}\\ x-sinx &\sim \frac{1}{6}x^{3}\\ \sqrt[3]{x}&\sim x^{1/2}\\ e^{sinx}-1 &\sim x \end{split} \]

抓大头

\[ x \to \infty :x^3+x^2+x \sim x^3 \]

\[ x \to 0:x^3+x^2+x \sim x \]

\[ 无穷大+有界 \sim 无穷大：x\to\infty :x+sinx \sim x \]

变换指数

\[ \lim_{x \to x_0}u(x)^{v(x)}=\lim_{x \to x_0}e^{v(x)\ln u(x)} \]

求渐近线

定义设有直线L:y=ax+b,曲线C:y=f(x),如果点(x,y)沿着曲线y=f(x)趋于∞时，(x,y)到L的距离d趋于0，则称y=ax+b是曲线y=f(x)的渐近线。

From the definition: \[ \lim_{n \to \infty}\frac{|f(x)-(ax+b)|}{\sqrt{1+a^2}}=b \]

\[ \lim_{n \to \infty}\frac{f(x)-ax}{x}=0 \]

\[ \lim_{n \to \infty}\frac{f(x)}{x}=a \]

得到a后再回代求出b即可

垂直渐近线：$\lim_{n \to \infty}\frac{f(x)}{x}=a$,则称x=x₀是y=f(x)的垂直渐近线。

水平渐近线：$\lim_{n \to \infty}f(x)=\infty$，则称y=a是y=f(x)的水平渐近线。

连续

f在x₀处连续的3个条件：

f在x₀处有定义
$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在，即$\lim_{x \to x_0}f(x_0-0)=\lim_{x \to x_0}f(x_0+0)$均存在且相等
$\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$

第一类间断点和第二类间断点的区分是：\[f(x_0^-)和f(x_0^+)\]是否都存在

求导

对数求导法

两边取对数再求导

高阶导数

\[ \begin{split} (\ln(1+x))^{(n)}&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\\ (\sin x)^{(n)}&=\sin (x+n\times \frac {\pi}{2})\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos (x+n\times \frac {\pi}{2})\\ (a^x)^{(n)}&=a^x \times \ln^na\\ (x^a)^{(n)}&=a(a-1)\cdots(a-n+1) x^{a-n}\\ (\sin kx)^{(n)}&=k^n\sin (kx+n\times \frac {\pi}{2})\\ (\cos kx)^{(n)}&=k^n\cos (kx+n\times \frac {\pi}{2})\\ \end{split} \]

莱布尼兹（Leibniz）公式： \[ (u+v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} \]

求高阶导数

归纳法

慢慢算，找规律
莱布尼兹公式

例如：$y=x^2e^{2x}$，求y⁽²⁰⁾ \[ \begin{split} y^{20}&=C^0_{20}x^2\cdot(e^{2x})^{(20)}+C_{20}^{1}2x\cdot(e^{2x})^{(19)}+C_{20}^2 2\cdot (e^{2x})^{(18)}\\ &=x^2\cdot2^{20}e^{2x}+20\cdot2x\cdot2^{19}e^{2x}+\frac{19\times 18}{2}\cdot2\cdot2^{18}e^{2x} \end{split} \]
泰勒展开

例如$f(x)=e^{x^3}$求f(0)⁽⁹⁹⁾ \[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \]

\[ e^x=1+x^3+\frac{x^6}{2!}+\cdots+\frac{x^{3n}}{n!} \]

\[ f^{(99)}(0)=\frac{99!}{33!} \]

微分

定义：设函数y=f(x)在某区间内有定义，x₀及x₀+Δx在这区间内，如果函数的增量 \[ \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \] 可表示为 \[ \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) \] 其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在点x₀是可微的，而AΔx叫做函数y=f(x)在点x₀相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即 \[ dy=A\Delta x \] 函数f(x)在点x₀可微的充要条件是函数f(x)在点x₀可导，且当f(x)在点x₀可微时，其微分一定为： \[ dy=f'(x_0)\Delta x \] 当$f'(x_0)\neq0$时，有 \[ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{dy}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{f'(x_0)\Delta x}=\frac{1}{f'(x_0)}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=1 \] 从而，当$\Delta x\to 0$时，$\Delta y$与dy是等价无穷小 \[ \Delta y=dy+o(dy) \] 即dy是Δy的主部。

当$f'(x_0)\neq0$的条件下时，我们说dy是Δy的线性主部

在$f'(x_0)\neq0$的条件下，以微分$dy=f'(x_0)\Delta x$近似代替增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$时，误差为o(dy)

因此当|Δx|很小时，有近似等式：$\Delta y\approx dy$

函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df(x)，即 \[ dy=f'(x)\Delta x \] 通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx，于是函数的微分又记作： \[ dy=f'(x)dx \]

近似计算（不考）

当|Δx|很小的时候，基于式子： \[ \Delta y\approx dy =f'(x_0)\Delta x \] 这个式子也可以写成 \[ \Delta y =f'(x_0+\Delta x)-f(x_0) \approx f'(x_0)\Delta x \] 或: \[ f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x \] 在上式中令x=x₀+Δx，即Δx=x-x₀: \[ f(x) \approx f(x_0)+f'(x-x_0)\Delta x \] 近似计算的本质就是用x的线性函数$f(x) \approx f(x_0)+f'(x-x_0)\Delta x$来近似表达函数f(x)

微分中值定理

罗尔定理

费马引理：设函数f(x)在点x₀的某领域U(x₀)内有定义，并且在x₀处可导，如果对任意的$x\in U(x_0)$，有 \[ f(x)\leqslant f(x_0)或(f(x)\geqslant f(x_0)) \] 那么f'(x₀)=0

通常称导数为零的点为函数的驻点（临界点、稳定点）

罗尔定理：

如果函数f(x)满足

在闭区间[a,b]上连续
在开区间(a,b)内可导
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)

那么，在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0

拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足：

在闭区间[a,b]上连续
在开区间(a,b)内可导

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得等式 \[ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \] 成立。

几何意义：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使得曲线在点C的切线平行于弦AB。

罗尔定理是拉格朗日中值定理f(a)=f(b)的特殊情况。 \[ f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta \Delta x) \cdot \Delta x(0<\theta<1) \] 如果记f(x)为y，那么： \[ \Delta y=f'(x+\theta \Delta x) \cdot \Delta x(0<\theta<1) \] 有限增量定理，上式称为有限增量公式。

定理：如果函数f(x)在区间I上连续，I内可导且导数恒为0，那么f(x)在区间I上是一个常数。

柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足

在闭区间[a,b]上连续
在开区间(a,b)内可导
对任意$x\in(a,b),F'(x)\neq0$

那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式： \[ \frac{f(b)-f(a)}{F(B)-F(A)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \]

泰勒公式

泰勒中值定理

如果函数f(x)在x₀处具有n阶导数，那么存在x₀的一个邻域，对于该邻域的任一x，有： \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n \] 其中： \[ R_n(x)=o((x-x_0)^n) \] 上述二式为带皮亚诺余项的泰勒公式

带拉格朗日余项的泰勒公式：

如果函数f(x)在x₀的某个邻域U(x₀)内具有(n+1)阶导数，那么对于任一x属于U(x₀)，有 \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \]

\[ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

这里ξ是x₀和x之间的某个值。

当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值定理，可见，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

在带皮亚诺余项的泰勒公式中，如果取x₀=0，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林展开式： \[ f(x)=f(0)+f'(x_0)(0)+\frac{f''(x)}{2!}(0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(0)+o(x^n) \] 在带拉格朗日余项的泰勒公式中，可以令ξ=θx(0<θ<1)，从而使得泰勒公式简化为： \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \] 可得到近似公式： \[ f(x)=f(0)+f'(x_0)(0)+\frac{f''(x)}{2!}(0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(0) \] 误差估计式变为： \[ |R_n(x)|\leqslant\frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1} \] 常用的麦克劳林公式： \[ \begin{split} e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ sinx&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})(n=0,1,2,\cdots)\\ cosx&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^2n)(n=0,1,2,\cdots)\\ \tan x&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots\\ (1+x)^\alpha &=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha -2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha -2)\cdots(\alpha -n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\ \frac{1}{1+x}&=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)(n=0,1,2,\cdots)\\ ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+o(x^{n+1})(n=0,1,\cdots) \end{split} \] cos x的麦克劳林公式可由sinx的公式求导得到。

ln(1+x)的麦克劳林公式可由$\frac{1}{1+x}$的公式积分得到。

什么时候使用？

五函数作加减法($e^x,\sin x,\cos x,\ln x,(1+x)^\alpha$)
$x^k$与五函数作乘法
$x^k$与五函数作复合运算。例如$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\cdots$

怎么用：

f(x)-g(x)：展开到首次出现非零项
$\frac{f(x)}{x^k}$：展开到k阶，上下同阶

曲线的凹凸性

定义：设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x₁和x₂恒有： \[ f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \] 那么称f(x)在I上的图像是（向）上凹的；

如果： \[ f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \] 那么称f(x)在I上的图像是向（上）凸的；

凹凸判定：

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

若在(a,b)内f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图像是凹的；
若在(a,b)内f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图像是凸的；

一般地，设y=f(x)在区间I上连续，x₀是I内的点.如果曲线y=f(x)在经过点(x₀,f(x₀))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x₀,f(x₀))为这曲线的拐点。

不定积分

连续函数一定有原函数.

换元法求不定积分

一般地，对于积分$\int f(ax+b)dx,(a\neq0)$ 总可以作变换u=ax+b，把它变成 \[ \int f(ax+b)dx=\int \frac{1}{a}f(ax+b)d(ax+b)=\frac{1}{a}[\int f(u)du]_{u=ax+b} \] 一般地，对于$\sin ^{2k+1}\cos^nx$或$\sin^nx\cos^{2k+1}x$其中($k\in N$)型函数的积分，总可以依次作变换u=cosx或u=sinx,求得结果

一般地，对于$\sin ^{2k}x\cos^{2l}x,(k,l\in N)$型函数，总可以利用三角恒等式：$sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos2x),cos^2=\frac{1}{2}(1+cos2x)$化成cos2x的多项式，然后再求积分。

一般地，对于$tan^nxsec^{2k}x$或$tan^{2k-1}xsec^nx(n,k\in N_*)$型函数，可依次作变换u=tanx或u=secx求得结果

常用积分

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln({x+\sqrt{x^2+a^2}})+C \]

定积分

f(x)在区间[a,b]可积的条件

f(x)在[a,b]上连续
f(x)在[a,b]上有有限个间断点，且函数有上界

定积分计算思路

先简化

几何意义：$\int_a^b \sqrt{px^2+qx+v}\space dx(p<0)$:积分曲线是圆
对称性： \[ \int_{-a}^af(x)dx=\cases{0,当f(x为奇函数)\\2\int _0^a.当f(x)为偶函数} \]
周期性：

f(x)以T为周期可积： \[ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int _0 ^Tf(x)dx=\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}dx \tag{1} \]

\[ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int _0 ^{nT}f(x)dx=n\int^{T}_{0}dx \tag{2} \]
常用公式

f(x)连续: \[ \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(x)dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0f(\cos x)dx(令x=\frac{\pi}{2}-t即可证明) \]

\[ \int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int _0 ^{\pi}f(sinx)dx(令x=\pi -t即可证明) \]

\[ \int_0^\pi f(sinx)dx=2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(sinx)dx(f(sinx)关于x=\frac{\pi}{2}对称) \]

华里氏(点火公式)： \[ \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^nxdx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^n xdx=\cases{\frac{(n-1)!!}{n!!},当n为奇数\\\frac{(n-1!!)}{n!!}\cdot \frac{\pi}{2}，当n为偶数} \] 例如： \[ \int_0^{\frac{pi}{2}}sin^9xdx=\frac{8}{9}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} \]

再按不定积分思路
有根号则用换元公式去根号
无根式则凑微分

数列极限化积分

找变化项，凑配变化得到形如： \[ \sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n})\frac{1}{n} \] 的式子，再将其变化为(0,1)上的定积分

反常积分审敛法

\[ \int _a ^{+\infty}\frac{dx}{x^p\ln ^qx}(a>1). \]

当p>1时，收敛
当p=1时，若q>1则收敛
当p=1时，若q<=1则发散
当p<1时发散

判准

要判断无穷限积分$\int_a^{+\infty}f(x)dx$的敛散性，需要找$x\to \infty$时被积函数f(x)的等价或同阶无穷小$\frac{1}{x^p}$，而$\int_a^{+\infty}f(x)dx$和$\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}$同敛散

要判断瑕积分$\int_a^bf(x)dx$的敛散性，需要瑕点附近f(x)的等价无穷大，由由于无穷大的倒数是无穷小，所以找等价无穷小即可。

思路

先化简